Längenverkürzung oder auch Längenkontraktion werden als Vokabeln oftmals im Zusammenhang mit der Relativitätstheorie oder der Lorentztransformation benutzt. Der Begriff Längenkontraktion hat sich im Rahmen der Speziellen Relativitätstheorie etabliert - allerdings existieren hierzu auch kritisierende Ansätze, so dass nachfolgend das Thema aus unterschiedlichen Perspektiven beschrieben werden soll.
Relativistische Längenkontraktion[]
Die Formel lautet:
L=L_0 * sqrt(1 - v²/c²)
Ein Objekt - oder als Beispiel ein Stab - im ruhenden Bezugssystem I hat die Länge L_0 und hätte nach dieser Transformation dann die Länge L' im sich bewegenden Bezugssystem I'.
Beispiel:
gegeben:
v=0,4*c
L_0=18000000 km
Formel:
L'=L_0 * sqrt(1 - v²/c²)
Rechnung:
L'=18000000*sqrt(1-(0,4*c/c)²)
L'=18000000*sqrt(1-0,4²)
L'=18000000*sqrt(1-0,16)
L'=18000000*sqrt(0,84)
L'=16497272,50184102402372 km mit Formel
L'=11 783 766,072743568 mit Berechnung per LT - siehe unten.
Längenverkürzung gemäß Lorentz-Transformation[]
Albert Einstein verwendete in seinem Werk "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" die Lorentz-Transformation, durch die Koordinaten von einem ruhenden in ein bewegtes Bezugssystem übertragen werden.
Lorentz-Transformation[]
Lorentz-Transformation
Bei Albert Einstein in seinem Werk "Zur Elektrodynamik bewegter Körper":
| τ = β*(t - v/V² * x) |
| ξ= β*(x - v * t) |
| η = y |
| ζ = z |
| wobei: |
| β = 1/sqrt(1 - (v/V)²) |
| γ = sqrt(1 - (v/V)²) |
In anderer physikalischer Notation:
Vom Ruhesystem I aus betrachtet:
| x' = (x - vt)/sqrt(1 - v²/c²) |
| y' = y |
| z' = z |
| t' = (t - vx/c²)/sqrt(1 - v²/c²) |
Vom bewegten System I' aus betrachtet:
| x = (x' + vt')/sqrt(1 - v²/c²) |
| y = y' |
| z = z' |
| t = (t' + vx'/c²)/sqrt(1 - v²/c²) |
Berechnung der Längenverkürzung unter Anwendung der Lorentz-Transformation[]
Ausgangspunkt dieser Berechnung ist, dass verschiedene Orte in einem x-t-Koordinatensystem auch unterschiedliche Zeiten haben müssen, wenn die Geschwindigkeit nicht unendlich sein soll. Insofern wird angenommen, dass sich im ruhenden Bezugssystem I ein Messsignal mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet und dadurch die Strecken x1 und x2 sowie die Zeiten t1 und t2 bestimmt werden. Danach werden dann per Lorentz-Transformation die Strecken x1' und x2' berechnet:
| x' = (x - vt)/sqrt(1 - v²/c²) |
| y' = y |
| z' = z |
| t' = (t - vx/c²)/sqrt(1 - v²/c²) |
Somit ergeben sich die Längen:
L_0 = x2 - x1
und
L' = x2' - x1'
Beispiel:
t' = [t - (v/c²)*x]/sqrt(1 - v²/c²)
x' = [x - v*t)/sqrt(1 - v²/c²)
y' = y
z' = z
v=0,4*c=0,4*300000=120000 km/s
x1=9 000 000 km
x2=27 000 000 km
x=c*t ==> t=x/c
t1=x1/c= 9000000/300000=30 s
t2=x2/c= 27000000/300000=90 s
L_0=(x2-x1)=c*(t2-t1)=300000*60=18000000 km
β=1/sqrt(1-(v/c)²)
β=1/sqrt(1-(0,4*c/c)²
β=1/sqrt(1-0,16)
β=1/sqrt(0,84)
β=1,09108945117996
Entfernungen und Zeiten werden in I per Lichtstrahl festgestellt:
x1'=(x1 – 0,4*c*t1)/sqrt(1-(0,4*c/c)²)=(x1 – 0,4*c*t1)*1,09108945117996=(9 000 000-0,4*300000*30)* 1,09108945117996=5 891 883,036371784km
x2'=(x2 – 0,4*c*t2)*1,09108945117996=(27 000 000-0,4*300000*90)* 1,09108945117996=17 675 649,109115352 km
t1'=[t1 - (v/c²)*x1]/sqrt(1 – v²/c²)=(30-(0.4/300000)*9 000 000)*1,09108945117996=19,63961012123928 s
t2'=[t2 - (v/c²)*x1]/sqrt(1 – v²/c²)=(90-0,4*27 000 000/300000)*1,09108945117996=58,91883036371784
L' = x2'-x1'=17675649,109115352 - 5891883,036371784 = 11 783 766,072743568 km
Probe:
c'=L'/(t2'-t1')=11783766,072743568/(58,91883036371784 -19,63961012123928) =300000=c'=c
L'=11 783 766,072743568 km
Berechnung L' mit Formel siehe oben, wobei:
L'_mit_Formel=16497272,50184102402372 km
Weitere Beispiele:
|
v |
0,2*c |
0,5*c |
0,7*c |
0,9*c |
|
c |
300000 |
300000 |
300000 |
300000 |
|
t1 |
20 |
20 |
20 |
20 |
|
t2 |
50 |
50 |
50 |
50 |
|
x1 |
6000000 |
6000000 |
6000000 |
6000000 |
|
x2 |
15000000 |
15000000 |
15000000 |
15000000 |
|
Lruh |
9000000 |
9000000 |
9000000 |
9000000 |
|
t1' |
16,33 |
11,55 |
8,4 |
4,59 |
|
t2' |
40,82 |
28,87 |
21 |
11,47 |
|
x1' |
4898979,49 |
3464101,62 |
2520504,15 |
1376494,4 |
|
x2' |
12247448,71 |
8660254,04 |
6301260,38 |
3441236,01 |
|
L'bew |
7348469,23 |
5196152,42 |
3780756,23 |
2064741,61 |
|
Lruh - L'bew |
1651530,77 |
3803847,58 |
5219243,77 |
6935258,4 |
|
v |
0*c |
0,99999*c |
0,5*c |
|
c |
300000 |
300000 |
300000 |
|
t1 |
20 |
20 |
0 |
|
t2 |
50 |
50 |
50 |
|
x1 |
6000000 |
6000000 |
0 |
|
x2 |
15000000 |
15000000 |
15000000 |
|
Lruh |
9000000 |
9000000 |
15000000 |
|
t1' |
20 |
0,04 |
0 |
|
t2' |
50 |
0,11 |
28,87 |
|
x1' |
6000000 |
13416,44 |
0 |
|
x2' |
15000000 |
33541,1 |
8660254,04 |
|
L'bew |
9000000 |
20124,66 |
8660254,04 |
|
Lruh-L'bew |
0 |
8979875,34 |
6339745,96 |
Weblinks[]
Einzelnachweise[]
Siehe auch[]
Lorentz-Transformation - Äthervorstellungen von Albert Einstein