Transport der Elektronen

Um einzelne Elektronen zu beschreiben, benutzt man Wellenpakete. Genauso wie man für freie Elektronen eine Superposition von ebenen Wellen verwendet, greifen wir im periodischen Potential des Kristalls auf eine Überlagerung von Bloch-Wellen zurück. Um einen halbwegs definierten k-Vektor zu haben, soll die Impulsunschärfe wesentlich kleiner sein als die Ausdehnung der ersten Brillenzone, d.h. im Ortsraum erstreckt sich die Welle über mehrere Elementarzellen.

Man erhält,wie in den GUTEN Büchern zur Festkörperphysik (wie z.B. dem Kittel) hergeleitet wird, die

Bewegungsgleichung[]

\hbar  \frac{d \vec{k}}{dt}=\vec{F}

für den Wellenvektor k einer solchen Elektronenwelle im Kristall bei einer äußeren Kraft F.

F enthält dabei sowohl die elektrische Kraft durch ein Feld als auch die Lorentzkraft in einem Magnetfeld.

Eine Verbindung zur klassischen Bewegungsgleichung F=ma wird hergestellt durch die sogenannte

effektive Masse[]

Betrachten wir dazu zunächst folgenden Zusammenhang: Eine WF der Energie E hat die Frequenz $\omega =E/ \hbar$ . Für die Gruppengeschwindigkeit ergibt sich damit

v_g=d \omega /dk= \frac{1}{\hbar} dE/dk

bzw.

\vec{v_g}= \frac{1}{\hbar} \nabla_k E(\vec{k})

.

Leiten wir nun die Gruppengeschwindigkeit ab, so erhalten wir unter Ausnutzung der Bewegungsgleichung

\frac{dv_g}{dt}=\frac{1}{\hbar} \frac{d^2 E}{dk \, dt}=\frac{1}{\hbar} \frac{d^2 E}{d^2k} \frac{dk}{dt}=\frac{1}{\hbar^2} \frac{d^2 E}{d^2k} F

bzw.

F=\hbar^2 \left( \frac{d^2E}{d^2k} \right)^{-1}\frac{dv_g}{dt} = m^*a

mit der effektiven Masse $m^*=\hbar^2 \left( \frac{d^2E}{d^2k} \right)^{-1}$ .

Im Falle einer nicht-isotropen Energiefläche wird die effektive Masse zum Tensor.

Interpretation: Das Elektron bewegt sich also in einem periodischen Potential so, als ob es die Masse m* hätte. Die Beschleunigung der Kristallelektronen verläuft dabei nicht notwendigerweise in Richtung der Kraft, sie kann auch in die entgegengesetze zeigen.

Die Erklärung hierzu liegt in der Braggreflexion des als Welle aufgefassten Elektrons am Gitter. Je näher der Wellenvektor des Elektrons k an die Brillenzonengrenze rückt, desto größer ist der Reflexionsanteil am Gitter. Direkt an der Grenze ist dieser sogar genausogroß wie der nach vorwärts gerichtete Teil, sodass die Welle stehend wird (Dispersionsrelation waagrecht, Gruppengeschwindigkeit verschwindet).

Im Bild rechts sieht man, dass die effektive Masse anwächst (da auch der reflektierte Anteil anwächst), unendlich wird (genau an dem Punkt, an dem der durch die Kraft F hervorgerufenene Übergang $k \Rightarrow k+ \Delta k$ zur Folge hat, dass der reflektierte Anteil im gleichen Maße wächst wie der der Anteil in Vorwärtsrichtung, effektiv also keine Beschleunigung des Elektrons erfolgt) und schließlich sogar negativ wird, wenn die Reflexionswelle scneller wächst als die in Vorwärtsrichtung laufende, das Elektron also effektiv in die entgegengesetzte Kraftrichtung beschleunigt wird.

Blochoszillationen[]

Unsere bisherigen Überlegungen führen zu dem komisch anmutenden Ergebnis, dass die Leitfähigfähigkeit idealer Metalle bei T=0 verschwindet:

Ein Elektrisches Feld E führt zu der Kraft e*E auf ein Elektron. Gemäß unserer Bewegungsgleichung wird dadurch eine gleichmäßige Bewegung der Elektronen im k-Raum induziert. Damit ändert sich auch die Gruppengeschwindigkeit periodisch, woraus eine oszillatorische Bewegung der Elektronen resultiert (siehe Bild). Dies bedeutet jedoch, dass die Elektronen in einem idealen Kristall bei T=0 stoßfreie Bloch-Oszillationen ausführen würden.

Für die Periodendauer berechnet man aus der Bewegungsgleichung

\tau = \frac{\mathrm{Ausdehnung \, Brillenzone}}{\mathrm{Geschwindigkeit \, im \, k-Raum}}=\frac{2 \pi /a}{e E/ \hbar}

Ladungstransport in Bändern[]

Für die Stromdichte gilt der Zusammenhang

\vec{j}=-\frac eV \sum \limits_{\vec{k}} \vec{v}(\vec{k})

Bei Inversionssymmetrie des Kristalls ist die Energiekurve in Abhängigkeit von k symmetrisch.

Da die Geschwindigkeit der Elektronen durch die Ableitung dieser Kurve gegeben ist, gilt in diesem Fall $\vec{v}(-\vec{k})=-\vec{v}(\vec{k})$ .

Wenn wir für die Elektronen die Fermiverteilung bei T=0 annehmen, so verschwindet daher die Summe über alle besetzten k:

\vec{j}=-\frac eV \sum \limits_{\vec{k}} \vec{v}(\vec{k})=0

Beim Anlegen eines elektrischen Feldes ändert sich daran bei vollen Bändern nichts: Gemäß der Bewegungsgleichung werden die Elektronen zwar im k-Raum bewegt, aber da sich die k-Zustände periodisch wiederholen und das Band schon komplett voll ist, ist zu jedem Zeitpunkt jeder k-Zustand besetzt, d.h. die Summe verschwindet immer noch.

Anders sieht es aus, wenn das Band nur teilweise gefüllt ist: Dann führt das Anlegen eines elektrischen Feldes tatsächlich zu einer Umbesetzung der k-Zustände und damit zu einer Veränderung der Geschwindigkeitsverteilung der Elektronen. Nach unseren bisherigen Betrachtungen käme es aber dennoch nicht zum Ladungstransport, sondern lediglich zu den oben genannten Blochoszillationen der Elektronen. Die in echten Metallen auftretenden Stöße der Elektronen verursachen jedoch anstatt einer Oszillation nur eine Verschiebung der Elektronenverteilung im k-Raum, sodass insgesamt $\vec{j}\neq 0$ wird.

Streuung der Elektronen[]

Wie oben erwähnt, tritt Ladungstransport nur auf, wenn die Elektronen in irgendeiner Weise gestreut werden. Im einfachsten Fall (Annahmen?) kann die Fermifläche eines Metalls mit teilweise gefülltem Leitungsband als eine Fermikugel beschrieben werden. Legt man jetzt ein elektrisches Feld z.B. in minus-x-Richtung an, so würde sich die komplette Kugel in die plus-x-Richtung bewegen, und somit immer wieder periodisch die 1. Brillenzone durchlaufen. Es käme also nicht zum Ladungstransport, sondern nur zu den Bloch-Oszillationen. In echten Metallen werden stattdessen durch Streuprozesse mit zunehmender Verschiebung der Kugel Elektronen von deren Vorder- auf deren Rückseite transportiert (im Impulsraum, d.h. die Elektronen mit "großen" Wellenvektoren in x-Richtung haben nach der Streuung "große" Wellenvektoren in y-Richtung).

Somit bildet sich nach einer gewissen Zeit ein Gleichgewicht aus zwischen Verschiebung der Fermikugel durch das elektrische Feld und Umverteilungen der Elektronen im k-Raum durch Streuprozesse, sodass die Kugel in einer neuen Gleichgewichtslage zum "stehen" kommt. Daraus resultiert der Ladungstransport

\vec{j}=-\frac eV \sum \limits_{\vec{k}} \vec{v}(\vec{k})\neq 0

Auf die verschiedenen Streumechanismen wird im folgenden eingegangen:

Streuung an Defekten[]

Diese Streuung an statischen Gitterstörung kann als elastisch vorausgesetzt werden, d.h. der Betrag des Wellenvektors ändert sich bei der Streuung nicht $|\vec{k}|=|\vec{k'}|$ . Der Rückstoßimpuls (am Defekt) $\hbar \vec{K}$ wird vom Kristall aufgenommen, sodass insgesamt gilt

\hbar\vec{k}=\hbar\vec{k'}+\hbar\vec{K}

Da das Elektron nur in einen freien Zustand streuen kann, es aber bei der elastischen Streuung keine Energie gewinnt, können nur jene Elektronen, die sich innerhalb des aufgeweichten Randbereiches der Fermifläche befinden, an Defekten gestreut werden.

Man könnte sich nun fragen, warum die Bewegung der Fermikugel nun abgebremst werden sollte, es können ja auch umgekehrt Elektronen von deren Rückseite auf die Vorderseite gestreut werden. Dieser Prozess ist jedoch unwahrscheinlicher, da aufgrund des elektrischen Feldes die Zustände mit großem k in x-Richtung höher besetzt sind als die mit großem k in minus-x-Richtung.

Streuung an Phononen[]

Obwohl dieser Streuprozess inelastisch ist, können wir auch hier $|\vec{k}|=|\vec{k'}|$ annehmen, da die Energie der Phononen $\hbar \omega_D$ viel kleiner ist als die der Elektronen ( $\approx E_F$ ).

Es gilt (siehe auch Gitterschwingungen#Phononenimpuls) $\vec{k'}=\vec{k}+\vec{G} \pm \vec{q}$ je nachdem, ob ein Phonon (Wellenvektor $\vec{q}$ erzeugt oder vernichtet wird). Es gibt auch hier wieder, je nachdem ob ein reziproker Gittervektor G beteiligt ist oder nicht, Umklapp- bzw Normalprozesse.

N-Prozess:

Ist die Temperatur niedrig und damit die beteiligten Phononimpulse q klein, so wird k' pro Streuprozess nur um diesen kleinen Impulsübertrag auf der Fermifläche verschoben. Es dauert also relativ lange, bis ein Elektron von der Vorder- auf die Rückseite gewandert ist. Bei hohen Temperaturen kann schon ein Phononstoß dazu ausreichen.

U-Prozess:

Ist der Phononimpuls q groß genug (Abstand Fermifläche - Brillenzone), so liegt k' außerhalb der Brillenzone (nicht der Fermifläche!) und wird durch einen reziproken Gittervektor G wieder in diese zurücküberführt. Dabei kann die Richtungsänderung des Elektronenimpulses sehr hoch sein, trotz relativ kleinem q.

Streuung an Elektronen[]

Aufgrund des Pauliprinzips und dem Abschirmeffekt kann man dieses Prozess (bei nicht zu tiefen Temperaturen) vernachlässigen. Die Einelektronen-Näherung ist also plausibel.

Elektrische und thermische Leitfähigkeit[]

Drude-Modell[]

Um das Ohmsche Gesetz zu erhalten, lassen wir jetzt die ganzen komplizierten Vorbetrachtungen außer Acht und bedienen uns des einfachen Drude-Modells. Die Elektronen werden hierbei als freie Teilchen betrachtet, die sich unter ständigen Stößen mit den Atomrümpfen im Metall bewegen. Die Bewegungsgleichung für ein e- lautet:

$m \frac{dv}{dt}=-eE-m \frac{v_d}{\tau}$

mit E: Elektrisches Feld, $\tau$ : Relaxationszeit, $v_d$ Driftgeschwindigkeit aufgrund des Feldes, wobei sich die Gesamtgeschwindigkeit v gemäß $v=v_{th}+v_d$ aus statistischer thermischer und Driftgeschwindigkeit zusammensetzt.

Die Bewegungsgleichung enthält also die Beschleunigung durch das Feld, sowie eine geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft durch die Stöße.

Im stationären Fall gilt $\frac{dv}{dt}=0$ , sodass $v_d=\mu E$ wird, mit $\mu=e \tau /m$ (Beweglichkeit). Mit der Elektronendichte n folgt für die Stromdichte

j=-env_d=ne\mu E= \sigma E

mit der Leitfähigkeit $\sigma=ne \mu$

Diese Leitfähigkeit weist eine Temperaturabhängigkeit auf. In Metallen ist n konstant, aber die Beweglichkeit nimmt mit steigender Temperatur ab wegen zunehmender Stöße mit den Atomen bzw. wegen dadurch sinkendem τ. Also sinkt auch die Leitfähigkeit. Dies führt man auf die Temperaturabhängigkeit der mittleren Stoßzeit $\tau$ zurück. Diese wird nach unseren Überlegungen oben hauptsächlich durch Phonon- und Defektstreuung beeinflusst, d.h. der elektrische Widerstand setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:

\rho=1/ \sigma= \rho_{Defekt}+\rho_{Gitter}=\frac {m}{ne^2 \tau_D}+\frac {m}{ne^2 \tau_G(T)}

Bei hohen Temperaturen $T \ge \Theta$ überwiegt die Phononstreuung. Die mittlere freie Weglänge ist proportional zu 1/n (n: Phononendichte), wobei die Phononendichte wiederum proportional zur Temperatur ist. Damit ist

$l \propto \tau \propto 1/n \propto 1/T$

Allgemein gilt das Bloch-Grüneisen-Gesetz mit seiner T^5 -Abhängigkeit des Widerstandes.

Thermische Leitfähigkeit[]

Wärmeleit met — Wärmeleitfähigkeit Metall

Für den Beitrag der Elektronen zur thermischen Leitfähigkeit K setzten wir wieder thermodynamisch an:

K= \frac 13 c_V v_F l

wobei wir als Geschwindigkeit die Fermigeschwindigkeit einsetzen, da wie beim Ladungstransport nur die Elektronen auf der Fermifläche beitragen. Für $c_V$ setzen wir $\gamma T$ ein, was wir aus der Behandlung der Elektronen als Fermigas wissen. Das ergibt

K\propto T l

Bei tiefen Temperaturen ist l konstant, das heißt $K\propto T$ .

Bei höher werdenden Temperaturen nimmt die Zahl der thermischen Phononen zu und damit die Weglänge l und die Leitfähigkeit wieder ab. Oberhalb von 100K werden steigt die Anzahl der Photonen proportional zu Temperatur an, dh die Weglänge nimmt mit 1/T ab, das heißt die Wärmeleitfähigkeit wird konstant.

Insgesamt wird die thermische Leitfähigkeit in Metallen (besonders bei Zimmertemperatur und bei tiefen Temperaturen) vom Beitrag der Elektronen dominiert, der Phononenbeitrag spielt kaum eine Rolle.

Wiedemann-Franz-Gesetz[]

Dieses erhält man, wenn man die beiden Ausdrücke für die elektreische un die thermische Leitfähigkeit vergleicht:

\frac {K}{\sigma}=LT

wobei bei die Lorentzzahl L eine variable Konstante zu sein scheint ;-) Sie ist nur bei hohen und tiefen Temperaturen konstant.