Bindungsenergien

Lex dubia non obligat (Ein zweifelhaftes Gesetz bindet nicht) - juristischer Grundsatz

Einleitung

Bindungszustand und Stabilität eines Systems werden durch die Bindungsenergie bestimmt, die sich aus Differenz der Masse des Gesamtsystems und Summe der Massen seiner Konstituenten ergibt (Massendefekt):

$B(Z,A)=\left[ Z\cdot M(H)+(A-Z) \cdot M_n-M(A,Z)\right]\cdot c^2$

mit Z: Anzahl der Protonen, A: Anzahl der Nukleonen, $M(H) \approx m_e+M_p$, (A-Z): Anzahl der Neutronen, M(A,Z): Masse des Atoms dessen Bindungsenergie untersucht wird.

Weizsäcker-Massenformel

Die Bindungsenergie pro Nukleon B/A hängt nur schwach von der Massenzahl ab und liegt etwa im Bereich von 8 MeV (siehe Skizze).

Die durchgezogene Linie entpricht dabei der phänomenologischen Weizsäcker-Massenformel:

$M(A,Z)=N \cdot M_n+Z \cdot( M_p+m_e)-a_v\cdot A+ a_s \cdot A^{2/3}+ a_c \cdot \frac{Z^2}{A^{1/3}}+a_a \cdot \frac{(N-Z)^2}{4A}+\frac{\delta}{A^{1/2}}$

mit N = A-Z : #Neutronen.

Die Masse wird also im Wesentlichen durch die Massen der Konstituenten sowie die Kernbindung, die durch die letzten 5 Terme repräsentiert wird, bestimmt. Auf diese 5 Terme gehen wir nun Näher ein:

Volumenterm

$-a_v\cdot A$

Dieser Term, der proportional zu Anzahl der Nukleonen ist, dominiert die Bindungsenergie. Da also jedes zusätzliche Nukleon den gleichen Beitrag von $a_v\approx 16 MeV$ liefert, muss die Kernkraft kurzreichweitig sein und nur mit den Nachbarnukleonen wechselwirken (Sättigung). Daher ist auch die Nukleonendichte im Zentrum für fast alle Kerne gleich ist (ca. 0.2 Nukleonen pro Kubikfm). Würde ein Nukleon mit allen anderen Nukleonen wechselwirken, so müsste die Bindungsenergie ~A(A-1), also ca. A^2 sein.

Oberflächenterm

$+a_s \cdot A^{2/3}$

Die der eben besprochene Anteil der Bindungsenergie ist jedoch für Nukleonen an der Oberfläche des Kerns reduziert, da diese von weniger Nukleonen umgeben sind. Dieser Term muss also proportional zur Oberfläche, also proportional zu R^2 sein (siehe Definition Kernradius). Da $R \propto A^{1/3}$ folgt $R^2 \propto A^{2/3}$.

Coulomb-Term

$+ a_c \cdot \frac{Z^2}{A^{1/3}}$

Durch die Abstoßung der Protonen im Kern wird die Bindungsenergie weiter reduziert. Es ist anschaulich, dass dieser Term $\propto \frac{Z(Z-1)}{R}$ sein sollte und damit auch $\propto \frac{Z^2}{A^{1/3}}$

Asymmetrieterm

$a_a \cdot \frac{(N-Z)^2}{4A}$

Um die Coulombkraft durch die Kernkraft zu kompensieren, häufen schwere Kerne immer mehr Neutronen an. Dadurch ensteht eine Asymmetrie (N-Z) zwischen Protonen und Neutronen, die die Kernkraft gemäß $\frac{(N-Z)^2}{4A}$ ändert (genauerer Erläuterung: siehe Fermigasmodell).

Paarungsterm

$\frac{\delta}{A^{1/2}}$

wobei $\delta = \begin{cases} -11.2 MeV/c^2 & {\rm gg-Kerne \, (N,Z \, gerade)} \\ 0 & {\rm \, ug \,\, und \,\, gu-Kerne} \\ +11.2 MeV/c^2 & {\rm uu-Kerne \, (N,Z \,\, ungerade)} \end{cases}$

d.h. eine gerade Anzahl von Protonen und/oder Neutronen erhöht die Stabilität des Kern. Dies kann man interpretieren als Paarbildung zwischen je 2 Protonen bzw Neutronen, die die Bindungsenergie erhöht. Ist die Anzahl ungerade, so bleibt ein Proton/Neutron "übrig" und ist "lockerer" gebunden.

Vergleich mit Tröpfchenmodell

• konstante Dichte
• Kurzreichweitigkeit der Kräfte
• Sättigung
• Deformierbarkeit
• Oberflächenspannung

Aber: Ausdehnung der "Tropfen" kleiner als die mittlere freie Weglänge -> Quantenflüssigkeit

Experimentelle Bestimmung der Bindungsenergien und Massen

Massenspektrometer

Beim Massenspektrometer wird das Verhältnis q/m von Ionen gemessen.

Dazu schickt man die Ionen zunächst zum Beschleunigen durch ein elektrisches Feld. Danach fliegen sie durch ein senkrecht zu v gerichtetes elektrisches Feld der Länge d, wo sie die Kraft F = Eq erfahren und daher um $\Delta s=\frac 12 a t^2=\frac 12 \frac {Eq}{m} t^2=\frac 12 \frac {Eq}{m}(\frac dv )^2$ abgelenkt werden.

Danach durchlaufen sie ein senkrecht zu v gerichtetes Magnetfeld, in dem die Kraft F = qvB und sie auf eine Kreisbahn zwingt: $F_Z=F_L \rightarrow mv^2/R=qvB \rightarrow R=\frac{mv}{qB}$

Aus der Messung von R und $\Delta s$ ergibt sich nun bei bekanntem v,B,d das Verhältnis q/m.

Massenbestimmung durch Kernreaktionen

Sind die Kerne sehr kurzlebig, sodass sie massenspektroskopisch nicht untersuchbar sind, kann man die Bindungsenergie auch durch Untersuchungen von Kernreaktionen bestimmen. Fängt z.B. ein Wasserstoff ein thermisches Neutron ein, so wird es unter Aussendung eines Photons zum Deuterium. Die Summe aus Photonenergie sowie Rückstoßenergie des Deuteriums ergibt einem dann die Bindungsenergie.